Questo è il primo volume di un'introduzione in tre volumi alla geometria moderna, con particolare attenzione alle applicazioni ad altri ambiti della matematica e della fisica teorica. Gli argomenti trattati includono i tensori e il calcolo differenziale tensoriale, il calcolo delle variazioni in una e in più dimensioni, e la teoria geometrica dei campi. Questo materiale è presentato con un linguaggio il più possibile semplice e concreto, utilizzando una terminologia accettabile anche per i fisici.